Question

5．（1）证明：$（{k+1}）C_{n+1}^{k+1}=（{n+1}）C_n^k$；
（2）证明：$C_n^0-\frac{1}{2}C_n^1+\frac{1}{3}C_n^2-\frac{1}{4}C_n^3+…+\frac{{{{（{-1}）}^n}}}{n+1}C_n^n=\frac{1}{n+1}$；
（3）证明：$C_n^1-\frac{1}{2}C_n^2+\frac{1}{3}C_n^3-\frac{1}{4}C_n^4+…+\frac{{{{（{-1}）}^{n-1}}}}{n}C_n^n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）利用组合数的计算公式可得：（k+1）${∁}_{n+1}^{k+1}$=（k+1）•$\frac{（n+1）!}{（k+1）!（n-k）！}$=$\frac{（n+1）×n!}{k!（n-k）!}$．
（2）由（1）可得：$\frac{{∁}_{n}^{k}}{k+1}$=$\frac{{∁}_{n+1}^{k+1}}{n+1}$，左边=$\sum_{k=0}^{n}\frac{（-1）^{k}}{n+1}{∁}_{n+1}^{k+1}$=$\frac{-1}{n+1}$$\sum_{k=0}^{n}{∁}_{n+1}^{k+1}$（-1）^k+1=$\frac{-1}{n+1}$[（1-1）ⁿ⁺¹-1]，即可证明．
（3）$\sum_{k=1}^{n}\frac{（-1）^{k-1}}{k}$${∁}_{n}^{k}$=$\sum_{k=1}^{n}\frac{（-1）^{k-1}}{k}（{∁}_{n-1}^{k}+{∁}_{n-1}^{k-1}）$=$\sum_{k=1}^{n}\frac{（-1）^{k-1}}{k}{∁}_{n-1}^{k}$+$\sum_{k=1}^{n}\frac{（-1）^{k-1}}{k}{∁}_{n-1}^{k-1}$．由（2）可知：$\sum_{k=1}^{n}\frac{（-1）^{k-1}}{k}{∁}_{n-1}^{k-1}$=$\sum_{k=0}^{n-1}\frac{（-1）^{k}}{k+1}$${∁}_{n-1}^{k}$=$\frac{1}{n}$．设f（n）=$\sum_{k=1}^{n}\frac{（-1）^{k-1}}{k}{∁}_{n}^{k}$，则f（1）=1，$\sum_{k=1}^{n}\frac{（-1）^{k-1}}{k}{∁}_{n-1}^{k}$=f（n-1）．可得f（n）-f（n-1）=$\frac{1}{n}$．利用累加求和方法即可得出．

解答 证明：（1）（k+1）${∁}_{n+1}^{k+1}$=（k+1）•$\frac{（n+1）!}{（k+1）!（n-k）！}$=$\frac{（n+1）×n!}{k!（n-k）!}$=（n+1）${∁}_{n}^{k}$．
（2）由（1）可得：$\frac{{∁}_{n}^{k}}{k+1}$=$\frac{{∁}_{n+1}^{k+1}}{n+1}$，
∴左边=$\sum_{k=0}^{n}\frac{（-1）^{k}}{n+1}{∁}_{n+1}^{k+1}$=$\frac{-1}{n+1}$$\sum_{k=0}^{n}{∁}_{n+1}^{k+1}$（-1）^k+1=$\frac{-1}{n+1}$[（1-1）ⁿ⁺¹-1]=$\frac{1}{n+1}$=右边．
∴$C_n^0-\frac{1}{2}C_n^1+\frac{1}{3}C_n^2-\frac{1}{4}C_n^3+…+\frac{{{{（{-1}）}^n}}}{n+1}C_n^n=\frac{1}{n+1}$．
（3）$\sum_{k=1}^{n}\frac{（-1）^{k-1}}{k}$${∁}_{n}^{k}$=$\sum_{k=1}^{n}\frac{（-1）^{k-1}}{k}（{∁}_{n-1}^{k}+{∁}_{n-1}^{k-1}）$=$\sum_{k=1}^{n}\frac{（-1）^{k-1}}{k}{∁}_{n-1}^{k}$+$\sum_{k=1}^{n}\frac{（-1）^{k-1}}{k}{∁}_{n-1}^{k-1}$
由（2）可知：$\sum_{k=1}^{n}\frac{（-1）^{k-1}}{k}{∁}_{n-1}^{k-1}$=$\sum_{k=0}^{n-1}\frac{（-1）^{k}}{k+1}$${∁}_{n-1}^{k}$=$\frac{1}{n}$．
设f（n）=$\sum_{k=1}^{n}\frac{（-1）^{k-1}}{k}{∁}_{n}^{k}$，则f（1）=1，$\sum_{k=1}^{n}\frac{（-1）^{k-1}}{k}{∁}_{n-1}^{k}$=f（n-1）．
∴f（n）-f（n-1）=$\frac{1}{n}$．
∴n≥2时，f（n）=f（1）+f（2）-f（1）+…+f（n）-f（n-1）
=1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$．n=1时也成立．
∴f（n）=1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$．n∈N^*．
即：$C_n^1-\frac{1}{2}C_n^2+\frac{1}{3}C_n^3-\frac{1}{4}C_n^4+…+\frac{{{{（{-1}）}^{n-1}}}}{n}C_n^n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$．

点评 本题考查了组合数计算公式、累加求和方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．