Question

已知向量

a

=（cosα，sinα）、

b

=（cosβ，sinβ）、

c

=（cosγ，sinγ），其中α，β，γ∈[-π，π]，且满足

a

+2

b

+

c

=

0

求：
（1）

a

•

b

；     
（2）

b

与

a

+

b

-2

c

的夹角．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）求

a

•

b

，所以让式子

a

+2

b

+

c

=0中出现

a

•

b

，将

c

移到等号的右边并两边平方即可求出

a

•

b

．
（2）由

b

•(

a

+2

b

+

c

)=0求出

b

•

c

，这样便能求出

b

•(

a

+

b

-2

c

)=2．并且由

c

•(

a

+2

b

+

c

)=0，可求

a

•

c

，这样便能求(

a

+

b

-2

c

)2，从而求出|

a

+

b

-2

c

|，这时候根据两向量夹角的余弦公式可求出

b

与

a

+

b

-2

c

的夹角的余弦值，从而求出夹角．

解答： 解：（1）∵

a

+2

b

+

c

=

0

；∴

a

+2

b

=-

c

∴(

a

+2

b

)2=(-

c

)2；
∴

a

•

b

=-1．
（2）∵

b

•(

a

+2

b

+

c

)=0；
∴

b

•(

a

+2

b

+

c

)=-1+2+

b

•

c

=0；
∴

b

•

c

=-1；
∵

c

•(

a

+2

b

+

c

)=

c

•

a

-2+1=0；
∴

a

•

c

=1；
∴(

a

+

b

-2

c

)2=4，∴|

a

+

b

-2

c

|=2；
设向量

b

与

a

+

b

-2

c

的夹角为θ，则：cosθ=

2

1×2

=1；
∵θ∈[0，π]
∴θ=0．
∴

b

与

a

+

b

-2

c

的夹角为0．

点评：考查向量的数量积的运算，通过求向量的平方来求向量的模的方法，向量夹角的余弦公式，并且本题给出向量的坐标是表示模等于1，不要进行向量坐标的运算．