Question

10．设函数f（x）=e^x（2x-3）-ax²+2ax+b，若函数 f（x）存在两个极值点x₁，x₂，且极小值点x₁大于极大值点x₂，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（{0，\frac{1}{2}}）∪（{2{e^{\frac{3}{2}}}，+∞}）$
• B． $（{-∞，\frac{1}{2}}）∪（{4{e^{\frac{3}{2}}}，+∞}）$
• C． $（{-∞，2{e^{\frac{3}{2}}}}）$
• D． $（{-∞，1}）∪（{4{e^{\frac{3}{2}}}，+∞}）$

Answer 1

分析 由题意可知：求导，y=e^x（2x-1）与y=2a（x-1）有两个交点，设切点坐标，根据直线的斜率公式及导数的几何意义，即可求得切点，代入根据函数函数的单调性即可求得求得a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=e^x（2x-3）-ax²+2ax+b，求导f′（x）=e^x（2x-1）-2ax+2a，
由题意可知函数 f（x）存在两个极值点x₁，x₂，则y=e^x（2x-1）与y=2a（x-1）有两个交点，
则设切点（x₀，${e}^{{x}_{0}}$（2x₀-1）），y=2a（x-1）恒过点（1，0）
求导y′=e^x（2x+1），令y′＞0时，解得x＞-$\frac{1}{2}$，当y′＜0，解得x＜-$\frac{1}{2}$，
∴y=e^x（2x-1）在（-∞，-$\frac{1}{2}$）单调递减，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）单调递增；
则y=e^x（2x-1）在（x₀，${e}^{{x}_{0}}$（2x₀-1））处的切线斜率k=${e}^{{x}_{0}}$（2x₀+1），
则${e}^{{x}_{0}}$（2x₀+1）=$\frac{{e}^{{x}_{0}}（2{x}_{0}-1）}{{x}_{0}-1}$，整理得：2x₀²-3x₀=1，解得：x₀=0，或x₀=$\frac{3}{2}$，
∴当x₀=0时，则k=1，即2a=1，a=$\frac{1}{2}$，
x₀=$\frac{3}{2}$，则k=4${e}^{\frac{3}{2}}$，2a=4${e}^{\frac{3}{2}}$，a=2${e}^{\frac{3}{2}}$，
要使y=e^x（2x-1）与y=2a（x-1）有两个交点，
则0＜a＜$\frac{1}{2}$或a＞2${e}^{\frac{3}{2}}$，
当0＜a＜$\frac{1}{2}$，f′（x）=0，则y=e^x（2x-1）与y=2a（x-1）有两个交点x₁，x₂，
令由函数图象可知（-∞，x₂）单调递增，在（x₂，x₁）单调递减，在（x₁，+∞）单调递增，
则当x=x₂时，取极大值，当x=x₁取极小值，且x₂＜x₁，
满足极小值点x₁大于极大值点x₂，
同理可知：极小值点x₁大于极大值点x₂，
∴实数a的取值范围（0，$\frac{1}{2}$）∪（2${e}^{\frac{3}{2}}$，+∞），
另解：取a=0代入可知不合题意，f（x）=e^x（2x-3）+b的导数为f′（x）=e^x（2x-1），
只有极小值，无极大值．
则BCD三项均不合，
故选A．

点评 本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性及极值的关系，导数的几何意义，考查数形结合思想，属于难题．