Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，记

AnAn+1

=（a_n，a_n+1）（n∈N^*），且

A1A2

∥

AnAn+1

对任意n∈N^*恒成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在等差数列{b_n}，使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-3）2ⁿ+3对任意n∈N^*都成立？若存在，求出数列{b_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与向量的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由

A1A2

=（1，2），又

A1A2

∥

AnAn+1

，对任意n∈N^*恒成立，得a_n+1=2a_n，n∈N^*，由此能求出a_n=2^n-1，n∈N^*．
（2）记S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，由错位相减S_n=（2n-3）•2ⁿ+3，由此能求出存在等差数列{b_n}，b_n=2n-1，使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-3）2ⁿ+3对任意n∈N^*都成立．

解答： 解：（1）∵a₁=1，a₂=2，且

AnAn+1

=（a_n，a_n+1），（n∈N^*），
∴

A1A2

=（1，2），又

A1A2

∥

AnAn+1

，对任意n∈N^*恒成立，
∴a_n+1=2a_n，n∈N^*，
∴数列{a_n}为以1为首项2为公比的等比数列，
∴a_n=2^n-1，n∈N^*．
（2）存在等差数列{b_n}，b_n=2n-1，
使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-3）•2ⁿ+3对任意n∈N^*都成立，
理由如下：记S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，
则S_n=1•1+3•2+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1，①
∴2S_n=1•2+3•2²+…+（2n-1）•2ⁿ，②
①-②，得：-S_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ
=1+

4(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ
=-3-（2n-3）•2ⁿ，
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ+3，
存在等差数列{b_n}，b_n=2n-1，
使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-3）2ⁿ+3对任意n∈N^*都成立．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的数列是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．