Question

已知命题p：x₁和x₂是方程x²-mx-2=0的两个实根，不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|对任意实数m∈[-1，1]恒成立；命题q：不等式ax²+2x-1＞0有解，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：计算题,简易逻辑

分析：化简命题p，q；由p∨q为真命题，p∧q为假命题知p与q有且仅有一个为真．从而得出a的取值范围．

解答： 解：∵x₁，x₂是方程x²-mx-2=0的两个实根，
∴x₁+x₂=m，x₁•x₂=-2，
|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2+8

，
∴当m∈[-1，1]时，|x₁-x₂|_max=3．
由不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|对任意实数m∈[-1，1]恒成立，
可得：a²-5a-3≥3；
∴a≥6或a≤-1；
∴命题p为真命题时a≥6或a≤-1，命题p为假命题时-1＜a＜6；
命题q：不等式ax²+2x-1＞0有解，
①当a＞0时，显然有解，
②当a=0时，2x-1＞0有解，
③当a＜0时，∵ax²+2x-1＞0有解，
∴△=4+4a＞0，∴-1＜a＜0；
从而命题p：不等式ax²+2x-1＞0有解时a＞-1
∴命题q是假命题时a＞-1，命题q是假命题时a≤-1．
∵p∨q真，p∧q假，
∴p与q有且仅有一个为真．
（1）当命题p是真命题且命题q是假命题时a≤-1；
（2）当命题p是假命题且命题q是真命题时-1＜a＜6；
综上所述：a的取值范围为a＜6．

点评：本题考查了复合命题真假性的判断、方程的解的判断、韦达定理及分类讨论的思想，属于中档题．