Question

已知

m

=（sinωx+cosωx，

3

cosωx），

n

=（cosωx-sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若函数f（x）=

m

•

n

，且函数f（x）的图象与直线y=2两相邻公共点间的距离为π．
（l）求ω的值；
（2）在△ABC中，以a，b，c（分别是角A，B，C的对边，且a=

3

，f（A）=1，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得函数f（x）=

m

•

n

=2sin(2ωx+

π

6

)．再利用正弦函数的图象与性质即可得出ω．
（2）由（1）可知：f（x）=2sin(2x+

π

6

)，利用f（A）=1，可得sin(2A+

π

6

)=

1

2

，由0＜A＜π，可得2A+

π

6

=

5π

6

，解得A．利用正弦定理得：b=2sinB，c=2sinC，可得△ABC的周长l=

3

+2sinB+2sinC=

3

+2

3

sin(B+

π

6

)，即可得出．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

m

•

n

=cos²ωx-sin²ωx+2

3

sinωxcosωx
=cos2ωx+

3

sin2ωx
=2sin(2ωx+

π

6

)．
函数f（x）的图象与直线y=2两相邻公共点间的距离为π，ω＞0．
∴T=

2π

2ω

=π，解得ω=1．
（2）由（1）可知：f（x）=2sin(2x+

π

6

)，
∵f（A）=1，∴2sin(2A+

π

6

)=1．∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

13π

6

，∴2A+

π

6

=

5π

6

，解得A=

π

3

．
由正弦定理得：b=2sinB，c=2sinC，
∴△ABC的周长l=

3

+2sinB+2sinC=

3

+2sinB+2sin(

2π

3

-B)
=

3

+3sinB+

3

cosB=

3

+2

3

sin(B+

π

6

)．
∵0＜B＜

2π

3

，∴

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，
∴三角形周长的取值范围是(2

3

，3

3

]．

点评：本题综合考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的图象与性质、正弦定理、三角形的周长，考查了推理能力和计算能力，属于难题．