【题目】已知函数,其中是实数。设, 为该函数图象上的两点,且,若函数的图象在点处的切线重合,则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
先根据导数的几何意义写出函数f(x)在点A、B处的切线方程,再利用两直线重合的充要条件列出关系式,从而得出a=lnx2+(﹣1)2﹣1,最后利用导数研究它的单调性和最值,即可得出a的取值范围.
当x1<x2<0,或0<x1<x2时,f′(x1)≠f′(x2),故x1<0<x2,
当x1<0时,函数f(x)在点A(x1,f(x1))处的切线方程为y﹣(x12+2x1+a)=(2x1+2)(x﹣x1);
当x2>0时,函数f(x)在点B(x2,f(x2))处的切线方程为y﹣lnx2=(x﹣x2);
两直线重合的充要条件是=2x1+2①,lnx2﹣1=﹣x12+a②,
由①及x1<0<x2得0<<2,由①②得a=lnx2+(﹣1)2﹣1=﹣ln+(﹣2)2﹣1,
令t=,则0<t<2,且a=t2﹣t﹣lnt,设h(t)=t2﹣t﹣lnt,(0<t<2)
则h′(t)=t﹣1﹣=<0,∴h(t)在(0,2)为减函数,
则h(t)>h(2)=﹣ln2﹣1,∴a>﹣ln2﹣1,
∴若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,a的取值范围(﹣ln2﹣1,+∞).
故选:A.
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【题目】设函数(,,,)的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的最小值及取到最小值时自变量x的集合;
(3)将函数图像上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的()倍,得到函数的图象.若函数在区间上恰有5个零点,求t的取值范围.
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【题目】已知不交于同一点的三条直线:4x+y-4=0,:mx+y=0,:x-my-4=0.
(1)当这三条直线不能围成三角形时,求实数m的值;
(2)当与,都垂直时,求两垂足间的距离.
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【题目】某公司生产某种产品的速度为千克/小时,每小时可获得的利润是元,其中.
(1)要使生产该产品每小时获得的利润为60元,求每小时生产多少千克?
(2)要使生产400千克该产品获得的利润最大,问:此公司每小时应生产多少千克产品?并求出最大利润.
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【题目】20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:
(1)求频率直方图中a的值;
(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;
(3)从成绩在[50,70)的学生中人选2人,求这2人的成绩都在[60,70)中的概率.
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【题目】已知函数,若方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则的取值范围为( )
A. (﹣1,+∞)B. (﹣1,1]C. (﹣∞,1)D. [﹣1,1)
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