Question

12．函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx•cosx-cos²x+$\frac{1}{2}$，x∈R，将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后得函数g（x）的图象，设△ABC的三个角A、B、C的对边分别为a、b、c．
（1）求函数g（x）的单调增区间；
（2）若c=$\sqrt{7}$，f（C）=1，sinB=3sinA，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和差的正弦公式、倍角公式、三角函数的单调性与周期性即可得出；
（2）利用三角函数的单调性与周期性可得C，利用直角三角形的边角公式即可得出．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinx•cosx-cos²x+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}（2co{s}^{2}x-1）$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x=sin（2x-\frac{π}{6}）$
∴g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$$≤2x+\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
g（x）单调增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）
（2）由（Ⅰ）f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）∴f（C）-sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，
而-$\frac{π}{6}$$≤2C-\frac{π}{6}$$≤\frac{11}{6}π$，故C=$\frac{π}{3}$，--------------（8分）
由余弦定理知：a²+b²-ab=c²=7…①，
∵sinB=3sinA，由正弦定理德b=3a…②
由①②解得：a=1，b=3．

点评 本题主要考查正、余弦定理及三角运算等基础知识，同时考查运算求解能力．属于中档题．