Question

如图，三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD，M为AD中点，AB=BD=CD=1．
（1）证明：BM⊥CD；
（2）求三棱锥A-MBC的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得CD⊥AB，CD⊥BD，从而CD⊥平面ABD，由此能证明CD⊥BM．
（2）由已知得AB⊥BD，由VA-MBC=VC-ABM ，利用等积法能求出三棱锥A-MBC的体积．

解答： （1）证明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴CD⊥AB，又CD⊥BD，
BD，AB?平面ABD，且BD∩AB=B，
∴CD⊥平面ABD，
又MD?平面ABD，
∴CD⊥BM．
（2）解：由已知得AB⊥BD，
∴S△ABD=

1

2

AB•BD=

1

2

，
∵M为AD中点，∴S△ABM=

1

2

S△ABD=

1

4

，
由（1）得CD⊥平面ABD，
∴三棱锥C-ABM的高h=CD=1，
∴VA-MBC=VC-ABM =

1

3

S△ABM•h=

1

12

．

点评：本题考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意等积法的合理运用．