Question

10．某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．
（1）设半圆的半径OA=r（米），试建立塑胶跑道面积S与r的函数关系S（r），并求其定义域；
（2）由于条件限制r∈[30，40]，问当r取何值时，运动场造价最低？

Answer 1

分析 （1）求出塑胶跑道面积的表达式，然后求解定义域．
（2）写出运动场造价的表达式，判断函数的单调性，然后求解最小值即可．

解答 解：（1）塑胶跑道面积S=$π[{r}^{2}-（{r-8）}^{2}]+\frac{10000-{πr}^{2}}{2r}×2$=$\frac{80000}{r}+8πr-64π$
∵πr²＜10000，∴$8＜r＜\frac{100}{\sqrt{π}}$，故定义域为$（8，\frac{100}{\sqrt{π}}）$．
（2）设运动场的造价为y元y=150s+30（10000-s）=120s+300000 
=300000+120$（\frac{80000}{r}+8πr）-7680π$，∵$\frac{80000}{r}+8πr≥1600\sqrt{π}$，当且仅当r=$\frac{100\sqrt{π}}{π}$时取等号，
∴函数y=300000+120$（\frac{80000}{r}+8πr）-7680π$，在[30，40]上为减函数．
∴当r=40时，函数有最小值．

点评 本题考查函数的最值与应用，考查实际问题的处理策略，基本不等式的应用，考查计算能力．