Question

【题目】已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线交于两点，求的值．

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程，将曲线的极坐标方程先利用两角和的正弦公式展开，再等式两边同时乘以，再代入代入化简可得出曲线的直角坐标方程；

（2）解法一：将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，得到关于的二次方程，列出韦达定理，由弦长公式得可求出；

解法二：计算圆心到直线的距离，并求出圆的半径，利用勾股定理以及垂径定理得出可计算出；

解法三：将直线的方程与曲线的直角坐标方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，列出韦达定理，利用弦长公式可计算出（其中为直线的斜率）．

（1）由直线的参数方程，消去参数得，

即直线普通方程为.

对于曲线,由,即,

,

，

曲线的直角坐标方程为.

（2）解法一：将代入的直角坐标方程，

整理得,

，

.

（2）解法二：曲线的标准方程为，

曲线是圆心为，半径的圆.

设圆心到直线:的距离为,则.

则.

(2) 解法三：联立,消去整理得,

解得,.

将,分别代入得,

所以,直线与圆的两个交点是.

所以,.