Question

为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的处理量最少400吨，最多600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：

且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.

（1）该单位每月处理量为多少时，才能使每吨的平均处理成本最低？

（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

 

Answer 1

（1）400吨；（2）不获利，国家至少每月补贴40000元

【解析】

试题分析：（1）利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后利用基本不等式求解；（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到时，可利用函数的单调性求解；（3）基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.（4）掌握二次函数在闭区间上的最值，注意区间和对称轴的关系

试题解析：【解析】
由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：

，

当且仅当，即时，

才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元

设该单位每月获利为

则

因为，所以当时，有最大值

故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损

考点：1、利用基本不等式求最值；2、二次函数在闭区间上的最值