Question

设

e1

、

e2

是不共线的向量，且

a

=

e1

-

e2

，

b

=

e1

+2

e2

．
（1）证明：

a

、

b

可以作为一组基底；
（2）以

a

、

b

为基底，求向量的

c

=

3e

-

e2

的分解式．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：（1）根据基底的定义，只要证明

a

，

b

不共线即可．先假设共线，则存在实数λ，使

b

=λ

a

，然后容易说明找不到这样的λ，所以

a

，

b

不共线，所以可以作为一组基底．
（2）先设

c

=x

a

+y

b

，根据共面向量基本定理求出x，y即可．

解答： 解：（1）若

a

，

b

共线，∵

a

≠

0

，∴存在实数λ，使

b

=λ

a

；
∴

e1

+2

e2

=λ(

e1

-

e2

)=λ

e1

-λ

e2

；
∴

1=λ 2=-λ

，显然这样的λ不存在；
∴

a

，

b

不共线；
∴

a

，

b

可以作为一组基底．
（2）设

c

=x

a

+y

b

；
∴3

e1

-

e2

=x(

e1

-

e2

)+y(

e1

+2

e2

)；
∴

3=x+y -1=-x+2y

；
解得：x=

7

3

，y=

2

3

；
∴

c

=

7

3

a

+

2

3

b

．

点评：本题考查基底的定义，共线向量基本定理，共面向量基本定理．