Question

【题目】已知函数， .

（1）求在区间（）上的最小值；

（2）当时，讨论方程实数根的个数.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）对函数进行求导，分为和两种情形讨论在区间上的单调性，故而得其最小值；（2）题意等价于零点的个数，对求导，利用导数得到函数的单调性，得到其大致形状，进而得零点个数.

试题解析：（1），当时， ， 单减；当时， ， 单增；于是，当时， 在单减， 单增， ；当时， 在单增， ； 因此.

（2）令，于是讨论方程实数根的个数，相当于讨论函数零点的个数.于是，①当时， ，函数为减函数；注意到，所以有唯一零点. ②当时，当时， 时，所以函数在单调递减，在单调递增，注意到，结合的大致图像知，此时也有唯一零点.综上，函数在有唯一零点.即方程有唯一实数根.