Question

5．用数学归纳法证明：1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1（n∈N^*）

Answer 1

分析 用数学归纳法证明：（1）当n=1时，去证明等式成立；（2）假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．

解答 证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=2¹-1=1，
∴等式成立…2分
（2）假设当n=k时，等时成立，即1+2+2²+…+2^k-1=2^k-1…4分
那么，当n=k+1时，1+2+2²+…+2^k-1+2^k=2^k-1+2^k…6分
=2×2^k-1
=2^k+1-1…8分
这就是说，当n=k+1时，等式也成立…9分
根据（1）和（2），可知对n∈N^*等式成立…10分

点评 本题考查数学归纳法，用好归纳假设是关键，考查逻辑推理与证明的能力，属于中档题．