Question

14．下列说法正确的是（　　）

• A． f（x）=lnx²与g（x）=2lnx是同一个函数
• B． $cos\frac{π}{12}=\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$
• C． △ABC中，$cos（A+B）+sin\frac{C}{2}$的最小值是-1
• D． 因为$\sqrt{2}=2cos\frac{π}{4}$，所以$\sqrt{2+\sqrt{2}}=2cos\frac{π}{8}$

Answer 1

分析 根据函数相等的定义，可判断A；利用半角公式求出$cos\frac{π}{12}$，可判断B；求出$cos（A+B）+sin\frac{C}{2}$的最小值，可判断C；利用半角公式判断$\sqrt{2+\sqrt{2}}=2cos\frac{π}{8}$是否成立，可判断D

解答 解：A中，f（x）=lnx²的定义域为{x|x≠0}，而g（x）=2lnx的定义域为{x|x＞0}，故不是同一个函数，故A错误；
$cos\frac{π}{12}$=$\sqrt{\frac{1+cos\frac{π}{6}}{2}}$=$\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，故B错误；
△ABC中，$cos（A+B）+sin\frac{C}{2}$=-cosC$+sin\frac{C}{2}$=$2si{n}^{2}\frac{C}{2}+sin\frac{C}{2}-1$=$2（sin\frac{C}{2}+\frac{1}{4}）^{2}-\frac{9}{8}$的最小值为$\frac{9}{8}$，故C错误；
因为$\sqrt{2}=2cos\frac{π}{4}$，所以$\sqrt{2+\sqrt{2}}$=$\sqrt{2+2cos\frac{π}{4}}$=$\sqrt{2+2（2co{s}^{2}\frac{π}{8}-1）}$=$\sqrt{4co{s}^{2}\frac{π}{8}}$=|$2cos\frac{π}{8}$|=$2cos\frac{π}{8}$，故D正确；
故选：D．

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了半角公式，函数相等的定义，三角函数的最值等知识点，难度中档．