Question

17．山东某市2008年至2012年新建商品住宅每平方米的均价y
（单位：千元）的数据如表：

年份	2008	2009	2010	2011	2012
年份序号x	1	2	3	4	5
每平米均价y	2.0	3.1	4.5	6.5	7.9

（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程$\hat y=\hat b•x+\hat a$；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析从2008年到2012年该市新建商品住宅每平方米均价的变化情况，并预测该市2015年新建商品住宅每平方米的均价．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\bar x•\bar y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\bar x}^2}}}}$，$\hat a=\bar y-\hat b•\bar x$．

Answer 1

分析 （I）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数$\hat{b}$的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出$\hat{a}$的值，得到线性回归方程．
（Ⅱ）根据上一问所求的线性回归方程，把x=8代入线性回归方程，预测该市2015年新建商品住宅每平方米的均价．

解答 解：（Ⅰ）由已知得：
$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（1+2+3+4+5）=3，…．（1分）
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（2.0+3.1+4.5+6.5+7.9）=4.8，…．（2分）
$\sum_{i=1}^5{x_i^2}$=1²+2²+3²+4²+5²=55，…（3分）
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}$=1×2+2×3.1+3×4.5+4×6.5+5×7.9=87.2，…．（5分）
$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\bar x\bar y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\bar x}^2}}}}=\frac{87.2-5×3×4.8}{55-5×9}=1.52$…．（7分）
$\hat a=\bar y-\hat b•\overline{x}=4.8-1.52×3=0.24$…（8分）
∴y关于x的线性回归方程为；$\hat y=\hat bx+\hat a=1.52x+0.24$…．（9分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a=1.52x+0.24$，可知$\hat b=1.52＞0$，
从2008年到2012年该市新建商品住宅每平方米均价逐年增加，
平均每年增加1.52千元；   …．（10分）
将2015年的年份代号x=8代入（Ⅰ）中的回归方程得$\hat y=\hat bx+\hat a=1.52×8+0.24=12.4$（千元）=12400元
故预测该市到2015年新建商品住宅每平方米的价格为12400元．…．（13分）

点评 本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，是一个基础题，解题时运算量比较大，注意利用公式求系数时，不要在运算上出错．属于中档题．