Question

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：c•cosBsinC+（$\sqrt{3}$a+csinB）cosC=0．
（Ⅰ）求C的大小；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{3}$，求a+b的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用及正弦定理化简已知等式可得：sinCsinA=-$\sqrt{3}$sinAcosC，结合范围0＜A＜π，可得tanC=-$\sqrt{3}$，从而解得C的值．
（Ⅱ）由正弦定理可得a+b=2sin（A$+\frac{π}{3}$），由A$∈（0，\frac{π}{3}）$，$A+\frac{π}{3}∈（\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}）$，可求sin（A+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，即可得解．

解答 解：（Ⅰ）由c•cosBsinC+（$\sqrt{3}$a+csinB）cosC=0．
可得csin（B+C）=-$\sqrt{3}$acosC，所以csinA=-$\sqrt{3}$acosC，
由正弦定理可得：sinCsinA=-$\sqrt{3}$sinAcosC，
因为0＜A＜π，所以sinA＞0，从而sinC=-$\sqrt{3}$cosC，
即tanC=-$\sqrt{3}$，从而解得：C=$\frac{2π}{3}$…6分
（Ⅱ）由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，可得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=2$，
所以：a+b=2（sinA+sinB）=2（sinA+sin（$\frac{π}{3}-A$））=2（$\frac{1}{2}sinA+\frac{\sqrt{3}}{2}cosA$）=2sin（A$+\frac{π}{3}$），
又因为A+B=$\frac{π}{3}$，得：A$∈（0，\frac{π}{3}）$，$A+\frac{π}{3}∈（\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}）$，sin（A+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
所以a+b∈（$\sqrt{3}$，2]，所以（a+b）_max=2，此时A+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即A=B=$\frac{π}{6}$…12分

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用及正弦定理的应用，所以基本知识的考查．