Question

4．已知条件p：函数f（x）=log_（2a-1）（ax-3）（a＞$\frac{1}{2}$，且a≠1）在其定义域上是减函数；条件q：函数g（x）=$\sqrt{x+|x-a|-2}$的定义域为R．如果“p或q”为真，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 对于命题：利用复合函数、一次函数、对数函数的单调性即可得出a的范围；对于q为真，则x+|x-a|-2≥0恒成立．记h（x）=x+|x-a|-2，则$h（x）=\left\{\begin{array}{l}2x-a-2，x≥a\\ a-2，x＜a\end{array}\right.$，即可得出．

解答 解：若p为真，由a＞$\frac{1}{2}$，且a≠1，
∴y=ax-3在定义域内是单调递增的，
而f（x）是减函数，则0＜2a-1＜1，即$\frac{1}{2}＜a＜1$；
若q为真，则x+|x-a|-2≥0恒成立．
记h（x）=x+|x-a|-2，则$h（x）=\left\{\begin{array}{l}2x-a-2，x≥a\\ a-2，x＜a\end{array}\right.$，
所以h（x）的最小值为a-2，故a≥2；
于是“p或q”为真时，$\frac{1}{2}＜a＜1$或a≥2．

点评 本题考查了对数函数单调性、分段函数求最值、命题的真假，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．