Question

20．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），过F且垂直于x轴的直线在第一象限内与双曲线、双曲线的渐近线的交点依次为A，B，若A为BF的中点，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 设出渐近线方程，将x=c分别代入双曲线的方程和渐近线方程，求得交点A，B，再由中点坐标公式和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得F（c，0），渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
将x=c，代入双曲线的方程可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
可得A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$）；
将x=c代入渐近线方程可得y=$\frac{bc}{a}$，
可得B（c，$\frac{bc}{a}$），
由A为BF的中点，可得$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{bc}{a}$，
化简可得c=2b，
即c²=4b²=4（c²-a²），
即有c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的留下来的求法，注意运用联立直线方程求得交点和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．