Question

17．如图所示的四棱 P-ABCD中，AB=BC=$\sqrt{2}$，AD=DC=$\sqrt{5}$，PD=2，AB⊥BC，E，F分别是△PAC与△PCD的重心．
（I）证明：EF∥平面ABCD；
（II）若三棱锥P-EFD的体积为$\frac{4}{27}$，证明：PD⊥平面ABCD．

Answer 1

分析 （I）延长PE交AC于点G，延长PF交CD于点 H，利用重心的性质得出$\frac{{{P}{E}}}{{{P}G}}=\frac{{{P}F}}{{{P}{H}}}=\frac{2}{3}$，于是EF∥GH，故而EF∥平面ABCD；
（II）设P到平面ACD的距离为h，求出V_P-ACD，根据各线段的比例关系可得V_P-EFD=$\frac{1}{9}$V_P-ACD，从而解出h=PD=2．故而PD⊥平面ABCD．

解答 解：（I）延长 P E交 AC于点G，延长 PF交CD于点 H连接GH．
∵E，F分别是△P AC，△PCD的重心，
∴$\frac{{{P}{E}}}{{{P}G}}=\frac{{{P}F}}{{{P}{H}}}=\frac{2}{3}$，
∴EF∥G H，又EF?平面ABCD，GH?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
（II）连接DG．
∵${A}{B}={B}C=\sqrt{2}$，A B⊥BC，∴AC=2，
∵${A}D=DC=\sqrt{5}$，∴DG=2，
则${S_{△{A}CD}}=\frac{1}{2}•2•2=2$，
设P到平面ACD的距离为h，则V_P-ACD=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•h$=$\frac{2}{3}h$．
∵$\frac{PF}{PH}$=$\frac{2}{3}$，H是CD的中点，
∴V_P-EFD=V_E-PFD=$\frac{2}{3}$V_E-PDH=$\frac{1}{3}$V_E-PCD．
又∵$\frac{PE}{PG}=\frac{2}{3}$，G是AC的中点，
∴V_E-PVD=$\frac{2}{3}$V_G-PCD=$\frac{1}{3}$V_A-PCD=$\frac{1}{3}$V_P-ACD．
∴V_P-EFD=$\frac{1}{9}$V_P-ACD=$\frac{2h}{27}$=$\frac{4}{27}$，
∴h=2，又 PD=2，
∴PD为棱锥P-ACD的高，即 PD⊥平面ABCD．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，棱锥的体积公式，属于中档题．