Question

11．已知三棱锥P-ABC的底面是边长为6的正三角形，PA⊥底面ABC，PA=4，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为64π．

Answer 1

分析 由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，代入R=$\sqrt{{r}^{2}+{d}^{2}}$，可得球的半径R，即可求出三棱锥P-ABC外接球的表面积．

解答 解：根据已知中底面△ABC是边长为6的正三角形，PA⊥底面ABC，
可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，
∵△ABC是边长为6的正三角形，
∴△ABC的外接圆半径r=2$\sqrt{3}$，
∴球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=2，故球的半径R=$\sqrt{12+4}$=4，
故三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4πR²=64π
故答案为：64π．

点评 本题考查的知识点是球内接多面体，由题意明确三棱锥外接球是以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，利用半径公式R=$\sqrt{{r}^{2}+{d}^{2}}$是解答的关键．