Question

对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]（m＜n），当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称f（x）在[m，n]上是“和谐函数”，且[m，n]为该函数的“和谐区间”．现有以下命题：
①f（x）=（x-1）²在[0，1]是“和谐函数”；
②恰有两个不同的正数a使f（x）=（x-1）²在[0，a]是“和谐函数”；
③f（x）=

1

x

+k对任意的k∈R都存在“和谐区间”；
④由方程x|x|+y|y|=1确定的函数y=f（x）必存在“和谐区间”．
其中正确的命题的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：函数的值域

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：①结合二次函数f（x）的图象判定命题正确；
②由①得a=1时满足，讨论0＜a＜1，a＞1时，是否有a满足；
③x＞0时，若存在[m，n]为“和谐区间”，可得

f(m)=n f(n)=m

，推出k=0有“和谐区间”，判定命题错误；
④x≥0且y≥0时，可得函数的“和谐区间”，判定命题正确．

解答： 解析：对①，结合二次函数f（x）=（x-1）²的图象得，命题正确；
对②，结合图象，由①，显然a=1满足，当0＜a＜1时都不满足，当a＞1时，令（a-1）²=a，解得a=

3+ 5

2

，∴恰有两个不同的a满足题意，命题正确；
对③，考虑x＞0时，若存在[m，n]为“和谐区间”，由单调递减性，可得

f(m)=n f(n)=m

，
即

1 m +k=n 1 n +k=m

，两式相减得mn=1，∴k=0，
即只有k=0时才有“和谐区间”，∴命题错误；
对④，考虑x≥0且y≥0时，可得y=

1-x2

，结合图象分析显然[0，1]为其“和谐区间”，∴命题正确；
综上，以上正确的有3个．
故选：C．

点评：本题考查了新定义的函数的性质与应用问题，解题时应理解新定义的问题是什么，结合题意进行解答，是易错题．