Question

15．已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，a∈R．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞0在区间（0，$\frac{1}{2}$）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；
（Ⅱ）问题转化为a＞2-$\frac{2lnx}{x-1}$在（0，$\frac{1}{2}$）恒成立，令h（x）=2-$\frac{2lnx}{x-1}$，x∈（0，$\frac{1}{2}$），根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x-1-2lnx，f′（x）=1-$\frac{2}{x}$，
故f（1）=0，f′（1）=-1，
故切线方程是：y=-（x-1），
即x+y-1=0．
（Ⅱ）若不等式f（x）＞0在区间（0，$\frac{1}{2}$）上恒成立，
即a＞2-$\frac{2lnx}{x-1}$在（0，$\frac{1}{2}$）恒成立，
令h（x）=2-$\frac{2lnx}{x-1}$，x∈（0，$\frac{1}{2}$），
则h′（x）=-2•$\frac{1-\frac{1}{x}-lnx}{{（x-1）}^{2}}$，
令m（x）=1-$\frac{1}{x}$-lnx，x∈（0，$\frac{1}{2}$），
则m′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$＞0，m（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递增，
故m（x）＜m（$\frac{1}{2}$）=-1+ln2＜0，
故h′（x）＞0，h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）递增，
h（x）＜h（$\frac{1}{2}$）=2-4ln2，
故a＞2-4ln2．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．