Question

（本小题共14分）如图所示，在正方体中，分别是棱的中点．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）证明：//平面；

（Ⅲ）若正方体棱长为1，求四面体的体积.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）

【解析】

试题分析：Ⅰ）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从证明线面垂直出发：因为面所以．又，所以面,所以平面面.（Ⅱ）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从证明线线平行出发，这一般可利用平面几何知识得以证明：设，则易得四边形为平行四边形，所以//.所以//面 （Ⅲ）求棱锥体积，关键在于确定其高。可以利用等体积法将其转化为可确定高的棱锥：

试题解析：（Ⅰ）证明:

因为为正方体，

所以面；

因为面，所以． 2分

又因为，，所以面

因为面,所以平面面. 5分

（Ⅱ）连接,//，且，

设，

则//且,

所以//且，

所以四边形为平行四边形. 所以//. 9分

又因为，．

所以//面 11分

（Ⅲ） 14分

考点：面面垂直判定定理，线面平行判定定理，棱锥体积