【题目】在直角坐标系
中，曲线
上的点均在曲线
外，且对上任意一点
，到直线
的距离等于该点与曲线
上点的距离的最小值．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若点
是曲线的焦点，过的两条直线
关于
轴对称，且分别交曲线于
，若四边形
的面积等于
，求直线的方程.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）求得
的圆心和半径，利用题目所给“
到直线
的距离等于该点与曲线上点的距离的最小值”列方程，化简这个方程可求得轨迹
的方程.（2）设出直线
的方程，代入抛物线的方程求得弦长
的值.根据对称性求得
的值，利用面积公式列方程，从而求得所求直线的斜率，进而求得直线方程.
（1）由已知得曲线是以
为圆心，
为半径的圆.设
，则到直线
的距离等于
，又到圆上的点的距离的最小值为
，所以由已知可得
，化简得， 所以曲线的方程为.（2）依题意可知，直线
的斜率存在，并且互为相反数.设直线
的方程
，代入抛物线方程并化简得
，故
，由弦长公式得
，同理
.下面求直线夹角的正弦值.设直线的倾斜角为
，则
，则直线夹角为
，且
.所以四边形
的面积为
，
，解得
，此时直线
的斜率为
，根据对称性可知.当直线斜率为
时，斜率为，也符合题意.故
，所求的直线方程为.
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【题目】如图，在三棱锥P-ABC中，
底面ABC，
.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，
，
.
（1）求证：
平面BDE；
（2）求二面角C-EM-N的正弦值.
（3）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为
，求线段AH的长.
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【题目】某网站针对“2016年春节放假安排”开展网上问卷调查，提出了A，B两种放假方案，调查结果如表：(单位：万人)
人群 | 青少年 | 中年人 | 老年人 |
支持A方案 | 200 | 400 | 800 |
支持B方案 | 100 | 100 | n |
已知从所有参与调查的人中任选1人是“老年人”的概率为
.
(1)求n的值；
(2)从参与调查的“老年人”中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求恰好有1人“支持B方案”的概率．
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【题目】从4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出2名志愿者，参加某项服务工作.
(1)求选出的两名志愿者都是获得书法比赛一等奖的同学的概率；
(2)求选出的两名志愿者中一名是获得书法比赛一等奖，另一名是获得绘画比赛一等奖的同学的概率.
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【题目】已知梯形
如图（1）所示，其中
， 
，四边形
是边长为
的正方形，现沿
进行折叠，使得平面
平面
，得到如图（2）所示的几何体.
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）已知点
在线段
上，且
平面
，求
与平面
所成角的正弦值.
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【题目】某学校一位教师要去某地参加全国数学优质课比赛，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机直接去的概率分别为0.3、0.1、0.2、0.4.
（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；
（2）他不乘轮船去的概率；
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【题目】设数据
是郑州市普通职工
个人的年收入，若这
个数据的中位数为
，平均数为
，方差为
，如果再加上世界首富的年收入
，则这
个数据中，下列说法正确的是（ ）
A.年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D.年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
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【题目】某投资公司计划在甲、乙两个互联网创新项目上共投资1200万元，每个项目至少要投资300万元.根据市场分析预测：甲项目的收益
与投入
满足
，乙项目的收益
与投入满足
.设甲项目的投入为
.
（1）求两个项目的总收益关于的函数
.
（2）如何安排甲、乙两个项目的投资，才能使总收益最大？最大总收益为多少？（注：收益与投入的单位都为“万元”）
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