Question

已知集合U={1，2，…，n}，n∈N^*．设集合A同时满足下列三个条件：
①A⊆U；
②若x∈A，则2x∉A；
③若x∈∁_UA，则2x∉∁_UA．   
（1）当n=4时，一个满足条件的集合A是

 

．（写出一个即可）
（2）当n=7时，满足条件的集合A的个数为

 

．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：计算题,集合

分析：（1）n=4时，集合U={1，2，3，4}，1，4必须同属于A，此时2属于A的补集；或1，4必须同属于A的补集，此时2属于A；而对元素3与集合A的关系没有限制，此时满足条件的集合有2²=4个，列举可得答案．
（2）n=7时，集合U={1，2，3，4，5，6，7}，1，4必须同属于A，此时2属于A的补集；或1，4必须同属于A的补集，此时2属于A；3属于A时，6属于A的补集；3属于A的补集时，6属于A；而元素5，7没有限制．此时满足条件的集合有2⁴=16个．

解答： 解：（1）n=4时，集合U={1，2，3，4}，
由①A⊆U；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈C_UA，则2x∉C_UA．
当1∈A，则2∉A，即2∈C_UA，则4∉C_UA，即4∈A，但元素3与集合A的关系不确定
故A={1，4}，或A={1，3，4}
当2∈A，则4∉A，1∉A，但元素3与集合A的关系不确定
故A={2}，或A={2，3}
（2）n=7时，集合U={1，2，3，4，5，6，7}，
由①A⊆U；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈C_UA，则2x∉C_UA．
1，4必须同属于A，此时2属于A的补集；或1，4必须同属于A的补集，此时2属于A；
3属于A时，6属于A的补集；3属于A的补集时，6属于A；
而元素5，7没有限制
故满足条件的集合A共有：2⁴=16个
故答案为：{2}，或{1，4}，或{2，3}，或{1，3，4}；16．

点评：本题考查的知识点是元素与集合关系，其中根据集合A满足的三个条件，分析U中各个元素与集合A的关系是解答的关键．