【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的焦点分别为
、
,点P在椭圆C上,满足|PF1|=7|PF2|,tan∠F1PF2=4
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知点A(1,0),试探究是否存在直线l:y=kx+m与椭圆C交于D、E两点,且使得|AD|=|AE|?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】解:(I)∵tan∠F1PF2=4 .∴cos∠F1PF2=
.设|PF1|=m,|PF2|=n,∵|PF1|=7|PF2|,∴m=7n.
联立 ,解得a=2,m=
,n=
.
∴b2=a2﹣c2=1,
故所求C的方程为 .
(II)假设存在直线l满足题设,设D(x1 , y1),E(x2 , y2),
将y=kx+m代入 并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,
由△=64k2m2﹣4(1+4k2)(4m2﹣4)=﹣16(m2﹣4k2﹣1)>0,
得4k2+1>m2 , ①
又 ,
设D,E中点为M(x0 , y0),M ,
∵kAMk=﹣1,得② ,
将②代入①得 ,
化简得20k4+k2﹣1>0(4k2+1)(5k2﹣1)>0,解得 或
∴存在直线l,使得|AD|=|AE|,此时k的取值范围为
【解析】(Ⅰ)由tan∠F1PF2=4 .可得cos∠F1PF2=
.设|PF1|=m,|PF2|=n,由|PF1|=7|PF2|,可得m=7n.
利用椭圆的定义及其余弦定理可得 ,解得即可得出.(II)假设存在直线l满足题设,设D(x1 , y1),E(x2 , y2),将y=kx+m代入椭圆方程可得:(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,由于△>0,可得4k2+1>m2 , 设D,E中点为M(x0 , y0),利用根与系数的关系可得:
,利用kAMk=﹣1,得
,代入△>0解出即可.
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【题目】如图,在空间四边形ABCD(A,B,C,D不共面)中,一个平面与边AB,BC,CD,DA分别交于E,F,G,H(不含端点),则下列结论错误的是( )
A.若AE:BE=CF:BF,则AC∥平面EFGH
B.若E,F,G,H分别为各边中点,则四边形EFGH为平行四边形
C.若E,F,G,H分别为各边中点且AC=BD,则四边形EFGH为矩形
D.若E,F,G,H分别为各边中点且AC⊥BD,则四边形EFGH为矩形
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【题目】已知向量a=(1,sin x),b=,函数f(x)=a·b-
cos 2x.
(1)求函数f(x)的解析式及其单调递增区间;
(2)当x∈时,求函数f(x)的值域.
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【题目】一同学在电脑中打出若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前2012个圈中的●的个数是 ( )
A. B.
C.
D.
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【题目】为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩(单位:分),从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本,如图是样本的茎叶图.规定:成绩不低于120分时为优秀成绩.
(1)从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据,求其中只有一个优秀成绩的概率;
(2)从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩,记获优秀成绩的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望Eξ.
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【题目】函数的定义域为D,若存在闭区间
,使得函数
满足:①
在
内是单调函数;②
在
上的值域为
,则称区间
为
的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有_______
① ②
③
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【题目】2018年6月14日,第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.为了了解喜爱足球运动是否与性别有关,某体育台随机抽取100名观众进行统计,得到如下列联表.
(1)将列联表补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关?
(2)在不喜爱足球运动的观众中,按性别分别用分层抽样的方式抽取6人,再从这6人中随机抽取2人参加一台访谈节目,求这2人至少有一位男性的概率.
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【题目】用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内,每个区域涂一种颜色,相邻两个区域涂不同的颜色,五种颜色可以反复使用,共有___________种不同的涂色方法?
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