Question

11．如图，在四棱锥P-ABCD中，∠BCD=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=CD=1，点E、F分别为AB和PD的中点．
（1）求证：直线AF∥平面PEC；
（2）求PC与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位线的性质证明线线平行，从而得到线面平行；
（2）根据直线间的两两垂直，尽力空间直角坐标系，再求出平面PAB的法向量，最后利用向量的数量积求出线面的夹角的正弦值．

解答 （1）证明：如图，

分别取PC，DC的中点G，H，连接FG，GH，EH，
则FG∥DH，FG=DH，DH∥AE，DH=AE，
∴FG∥AE，FG=AE，则四边形AEGF为平行四边形，则AF∥EG，
EG?平面PEC，AF?平面PEC，∴直线AF∥平面PEC；
解：∵底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，点E、F分别为AB和PD中点，
∴DE⊥DC，
∵PD⊥平面ABCD，∴以D为原点，DE为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
则 P（0，0，1），C（0，1，0），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0），
A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{AP}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{AB}$=（0，1，0）．
设平面PAB的一个法向量为：$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），．
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∵$\overrightarrow{PC}$=（0，1，-1），
∴设PC与平面PAB所成角为θ，
∴sinθ=$|\frac{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PC}||\overrightarrow{n}|}|$=$\frac{\sqrt{42}}{14}$．
∴PC平面PAB所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{42}}{14}$．

点评 本题考查的知识要点：线面平行的判定的应用，空间直角坐标系的建立，法向量的应用，线面的夹角的应用，主要考查学生的空间想象能力和应用能力．