Question

已知函数f（x）=4^x-2^xt+t+1在区间（0，+∞）上的图象恒在x轴上方，则实数t的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：指数型复合函数的性质及应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据复合函数的性质得出

t 2 ≤1 g(1)≥0

或

t 2 ＞1 g( t 2 )＞0

求解即可．

解答： 解：设m=2^x，x∈（0，+∞），∴m∈（1，+∞），
∵函数f（x）=4^x-2^xt+t+1在区间（0，+∞）上的图象恒在x轴上方，
∴g（m）=m²-tm+t+1，m∈（1，+∞），
∴

t 2 ≤1 g(1)≥0

或

t 2 ＞1 g( t 2 )＞0

∴t≤2或2＜t＜2+2

2

，
∴实数t的取值范围是（-∞，2+2

2

）
故答案为：（-∞，2+2

2

）

点评：本题考查了有关指数，二次函数的性质综合的题目，属于中档题．