Question

如图，点P为正方形ABCD对角线BD上的点，若

AP

•

PB

的最大值为2，则该正方形的边长为（　　）

• A、4

  2

• B、4
• C、2

  2

• D、2

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：设该正方形的边长为a，建立如图所示的直角坐标系．利用向量的坐标运算、数量积运算和二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：设该正方形的边长为a，建立如图所示的直角坐标系．
设

BP

=λ

BD

，
则

AP

=

AB

+λ(

AD

-

AB

)
=(1-λ)

AB

+λ

AD

=（1-λ）（a，0）+λ（0，a）
=（a-λa，λa）．
∴

PB

=

AB

-

AP

=（a，0）-（a-λa，λa）=（λa，-λa）．
∴

AP

•

PB

=λa（a-λa）-λ²a²=-2λ²a²+λa²=-2a2(λ-

1

4

)2+

1

8

a2≤

1

8

a2，当且仅当λ=

1

4

时取等号．
∵

AP

•

PB

的最大值为2，∴

1

8

a2=2，解得a=4．
故选：B．

点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算和二次函数的单调性，属于中档题．