Question

8．已知正△ABC的边长为1，点G为边BC的中点，点D，E是线段AB，AC上的动点，DE中点为F．若$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AE}=（1-2λ）\overrightarrow{AC}$（λ∈R），则|$\overrightarrow{FG}$|的取值范围为$[{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{7}}}{4}}]$．

Answer 1

分析 通过向量的运算法则，将$\overrightarrow{FG}$用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$来表示，进而$|\overrightarrow{FG}{|}^{2}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{4}$λ²，利用$\overrightarrow{AE}=（1-2λ）\overrightarrow{AC}$（λ∈R），可得0≤λ≤$\frac{1}{2}$，计算即可．

解答 解：由题可知：$\overrightarrow{DB}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{FD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AE}$），$\overrightarrow{BG}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$），
∴$\overrightarrow{FG}$=$\overrightarrow{FD}$+$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{BG}$
=$\frac{1}{2}$[λ$\overrightarrow{AB}$-（1-2λ）$\overrightarrow{AC}$]+（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1-λ}{2}$$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AC}$，
∴$|\overrightarrow{FG}{|}^{2}$=${\overrightarrow{FG}}^{2}$=$\frac{1-2λ+{λ}^{2}}{4}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+λ²${\overrightarrow{AC}}^{2}$+（λ-λ²）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$
=$\frac{1-2λ+{λ}^{2}}{4}$+λ²+$\frac{1}{2}$（λ-λ²）
=$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{4}$λ²，
又∵$\overrightarrow{AE}=（1-2λ）\overrightarrow{AC}$（λ∈R），
∴0≤λ≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{4}$≤$|\overrightarrow{FG}{|}^{2}$≤$\frac{7}{16}$，即$\frac{1}{2}$≤$|\overrightarrow{FG}|$≤$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
故答案为：$[{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{7}}}{4}}]$．

点评 本题考查求向量的模，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．