Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A﹣BCD，则在三棱锥A﹣BCD中，下列判断正确的是_____．（写出所有正确的序号）

①平面ABD⊥平面ABC

②直线BC与平面ABD所成角是45°

③平面ACD⊥平面ABC

④二面角C﹣AB﹣D余弦值为

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

①反证法，假设平面平面，容易推出垂直于平面，从而，出矛盾；

②利用几何法找到其平面角为，求解即可判断；

③证明平面，从而得到平面平面；

④证明为二面角的平面角，求解三角形得二面角的余弦值判断．

在四边形ABCD中，由已知可得∠DBC＝45°，假设平面ABD⊥平面ABC，

又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BDC＝BC，可得BC⊥平面ABD，

有∠DBC＝90°，与∠DBC＝45°矛盾，则假设错误，故①错误；

在四边形ABCD中，由已知可得BD⊥DC，

又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，则DC⊥平面ABD，

∠DBC为直线BC与平面ABD所成角是45°，故②正确；

由判断②时可知，DC⊥平面ABD，则DC⊥AB，又BA⊥AD，AD∩DC＝D，则AB⊥平面ADC，

而AB平面ABC，则平面ACD⊥平面ABC，故③正确；

由判断③时可知，AB⊥平面ADC，则∠DAC为二面角C﹣AB﹣D的平面角，

设AD＝AB＝1，则BD＝DC，由DC⊥AD，得AC，得cos∠DAC，故④正确．

∴判断正确的是②③④．

故答案为：②③④．