Question

已知数列{a_n}满足：a₁=

1

3

，a_n²+2a_n-2a_n+1=0，用[x]表示不超过x的最大整数，则[

1

a1+2

+

1

a2+2

+

1

a3+2

+…+

1

a2014+2

]=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件得

1

an+2

=

1

an

-

1

an+1

，所以[

1

a1+2

+

1

a2+2

+

1

a3+2

+…+

1

a2014+2

]=[

1

a1

-

1

a2015

]，由此能求出结果．

解答： 解：∵a₁=

1

3

，a_n²+2a_n-2a_n+1=0，
∴

1

2an+1

=

1

an2+2an

=

1

2

(

1

an

-

1

an+2

)，
∴

1

an+2

=

1

an

-

1

an+1

，
∴[

1

a1+2

+

1

a2+2

+

1

a3+2

+…+

1

a2014+2

]
=[

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+

1

a3

-

1

a4

+…+

1

a2014

-

1

a2015

]
=[

1

a1

-

1

a2015

]，
∵a_n²+2a_n-2a_n+1=0，
∴2an+1-2an=an2＞0，
∴{a_n}是增数列，
∵

1

9

+

2

3

-2a2=0，解得a2=

7

18

，

49

324

+

7

9

-2a3=0，解得a3=

301

162

，

90601

26244

+

301

81

-2a4=0，解得a4=

188125

13122

，
∵a₄＜a₂₀₁₅，∴0＜

1

a2015

＜1，
∴[

1

a1

-

1

a2015

]=2．
故答案为：2．

点评：本题考查数列的前2014项的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．