Question

已知实数x，y满足x²+xy+y²=3，则x²-xy+y²的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：设x²-xy+y²=m，又x²+xy+y²=3，可得3-m=2xy．由于x²+y²≥2|xy|，可得-3≤xy≤1，即可得出．

解答： 解：设x²-xy+y²=m，
∵x²+xy+y²=3，∴3-m=2xy．
∵x²+y²≥2|xy|，当且仅当x=±y时取等号．
∴3≥-2xy+xy，3≥2xy+xy，
化为-3≤xy≤1，
∴-6≤2xy≤2．
∴-6≤3-m≤2，
解得1≤m≤9．
∴x²-xy+y²的取值范围为[1，9]．
故答案为：[1，9]．

点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了灵活变形能力，考查了推理能力和计算能力，属于难题．