Question

已知在函数f（x）=-x³+ax²+bx+c图象上的点P（1，-2）处的切线方程为y=-3x+1．
（1）若函数f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，若f（x）=k在区间[-3，1]上有两个不同的解，求实数k的取值范围；
（3）函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）f′（x）=-3x²+2ax+b，由题意可得

f(1)=-1+a+b+c=-2 f′(1)=-3+2a+b=-3 f′(-2)=-12-4a+b=0

，解得即可．
（2）利用f′（x）=0，解得x=

2

3

或-2．在求出f（-3），f（-2），f(

2

3

)，f（1），画出图象得出k的取值范围．
（3）由f′（1）=-3，得2a=-b．由函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，可得f′（x）=-3x²-bx+b≥0恒成立，转化为b≥

-3x2

x-1

在区间[-2，0]上恒成立．令g(x)=

-3x2

x-1

，利用导数求出其最大值．

解答：解：（1）f′（x）=-3x²+2ax+b，由题意可得

f(1)=-1+a+b+c=-2 f′(1)=-3+2a+b=-3 f′(-2)=-12-4a+b=0

，解得

a=-2 b=4 c=-3

，
经验证满足条件，
∴f（x）=-x³-2x²+4x-3．
（2）∵f′（x）=-3x²-4x+4=-（3x-2）（x+2）=0，解得x=

2

3

或-2．
∵f（-3）=-6，f（-2）=-11，f(

2

3

)=-

41

27

，f（1）=-2．
画出图象可知：当-11＜k≤-6或-2≤k＜-

41

27

时，f（x）=k在区间[-3，1]上有两个不同的解；
（3）由f′（1）=-3，得2a=-b．
∵函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，∴f′（x）=-3x²-bx+b≥0恒成立，
∴b≥

-3x2

x-1

在区间[-2，0]上恒成立．
令g(x)=

-3x2

x-1

，则g′(x)=

-3x(x-2)

x-1

≥0，
∴g（x）在区间[-2，0]上单调递增，得g（x）_max=0．
∴b≥0．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、数形结合等是解题的关键．