Question

已知抛物线x²=4y的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A、B，过A、B分别作抛物线的两条切线l₁，l₂，若直线l₁，l₂交于点M，则点M所在的直线为（　　）

• A、y=-4
• B、y=-2
• C、y=-1
• D、y=-

  1

  2

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由斜截式写出过焦点的直线方程，和抛物线方程联立求出A，B两点横坐标的积，再利用导数写出过A，B两点的切线方程，然后整体运算可求得两切线的交点的纵坐标为定值-1，从而得到两切线焦点的轨迹方程．

解答： 解：由抛物线x²=4y得其焦点坐标为F（0，1）．
设A（x₁，

x12

4

），B（x₂，

x22

4

），
直线l：y=kx+1，代入抛物线x²=4y得：x²-4kx-4=0．
∴x₁x₂=-4…①．
又抛物线方程为：y=

1

4

x2，
求导得y′=

1

2

x，
∴抛物线过点A的切线的斜率为

x1

2

，切线方程为y-

x12

4

=

x1

2

（x-x₁）…②
抛物线过点B的切线的斜率为

x2

2

，切线方程为y-

x22

4

=

x2

2

（x-x₂）…③
由①②③得：y=-1．
∴l₁与l₂的交点P的轨迹方程是y=-1．
故选：C．

点评：本题考查了轨迹方程，训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了整体运算思想方法，是中档题．