Question

6．已知log₂（x+y）=log₂x+log₂y，则$\frac{4x}{x-1}$+$\frac{9y}{y-1}$的最小值是25．

Answer 1

分析 利用导数的运算法则化简已知条件，化简所求的表达式，利用基本不等式求解最值即可．

解答 解：log₂（x+y）=log₂x+log₂y，可得x，y＞0，x+y=xy．
$\frac{4x}{x-1}$+$\frac{9y}{y-1}$=4+$\frac{4}{x-1}$+9+$\frac{9}{y-1}$=13+$\frac{4y+9x-13}{xy-x-y+1}$=4y+9x=（4y+9x）（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）=13+$\frac{4y}{x}+\frac{9x}{y}$≥13+2$\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{9x}{y}}$=25．
当且仅当x=$\frac{5}{3}$，y=$\frac{5}{2}$时表达式取得最小值．
故答案为：25．

点评 本题考查对数运算法则的应用，基本不等式在最值中的应用，考查计算能力．