Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差为d．已知S₂，S₃+1，S₄成等差数列．
（Ⅰ）求d的值；
（Ⅱ）若a₁，a₂，a₅成等比数列，求

an-2

Sn

（n∈N^*）的最大值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由S₂，S₃+1，S₄成等差数列，得S₂+S₄=2（S₃+1），利用等差数列求和公式可化为a₁和d的方程，解出可得d；
（Ⅱ）由a₁，a₂，a₅成等比数列，得a22=a1a5，可求得a₁，从而可得a_n和S_n，借助二次函数性质可求

an-2

Sn

的最大值；

解答： 解：（Ⅰ）由S₂，S₃+1，S₄成等差数列，
得S₂+S₄=2（S₃+1），即（2a₁+d）+（4a₁+6d）=2（3a₁+3d）+2，
解得d=2．
（Ⅱ）由a₁，a₂，a₅成等比数列，得a22=a1a5，即(a1+d)2=a1(a1+4d)，
解得a₁=1．
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，Sn=

n(a1+an)

2

=n²．
∴

an-2

Sn

=

2n-3

n2

=-3(

1

n

-

1

3

)2+

1

3

．
∴当n=3时，

an-2

Sn

的最大值为

1

3

．

点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式求和公式、二次函数的性质，考查学生的运算求解能力，属基础题．