Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-2，0）过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为（-1，

2

2

），则E的方程为（　　）

• A、

  x2

  36

  +

  y2

  32

  =1
• B、

  x2

  16

  +

  y2

  12

  =1
• C、

  x2

  20

  +

  y2

  16

  =1
• D、

  x2

  8

  +

  y2

  4

  =1

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设过点F的直线方程为：y=k（x+2），联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理，和中点坐标公式，化简整理，解方程，即可得到椭圆方程．

解答： 解：设过点F的直线方程为：y=k（x+2），
联立椭圆方程，消去y，得，（b²+a²k²）x²+4a²k²x+4a²k²-a²b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

4a2k2

b2+a2k2

，即有AB中点为（-

2a2k2

b2+a2k2

，

2kb2

b2+a2k2

），
即有-

2a2k2

b2+a2k2

=-1，

2kb2

b2+a2k2

=

2

2

，又k=

2 2

-1+2

=

2

2

，
解得，b²=

1

2

a²，
且c=2，即有a²-b²=4，
解得，a²=8，b²=4．
则有椭圆E的方程为：

x2

8

+

y2

4

=1．
故选D．

点评：本题考查椭圆方程和运用，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和中点坐标公式，化简整理的运算能力，属于中档题．