Question

圆柱的高为4cm，底面半径为3cm，上底面一条半径OA与下底面一条半径O′B′成60°角，求：
（1）线段AB′的长；
（2）直线AB′与圆柱的轴OO′所成的角（用反三角表示）；
（3）点A沿圆柱侧面到达点B′的最短距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,多面体和旋转体表面上的最短距离问题,异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（1）根据已知条件知A′B′=3，所以在Rt△AA′B′中，AB′=5；
（2）OO′∥AA′，并且由图形知∠B′AA′为锐角，所以∠B′AA′即为直线AB′与OO′所成角，而∠B′AA′=arcsin

3

5

；
（3）将圆柱侧面沿过B′的母线展开，假设B′展开到B，则BA便是所求的最短距离，而BA′弧A′B′的长π，所以在Rt△ABA′中，AB=

16+π2

．

解答： 解：（1）由已知条件知，△OA′B′为等边三角形；
∴A′B′=3，且AA′⊥A′B′，AA′=4；
∴AB′=5；
（2）∵OO′∥AA′；
∴由图形知∠B′AA′为异面直线AB′与OO′所成角；
∵sin∠B′AA′=

3

5

；
∴异面直线AB′与OO′所成角的大小为arcsin

3

5

；
（3）将圆柱的侧面沿过B′的母线展开；
弧A′B′的长为：3•

π

3

=π；
∴点A沿圆柱侧面到达点B′的最短距离为

16+π2

．

点评：考查异面直线所成角的概念及求法，反三角函数的概念，以及弧长公式，圆柱的母线与底面的关系．