Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）（x∈R）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g(x)=f(x)-

3

f(x+

π

4

)，且tanα=

2

，求g（α）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过函数的图象求出振幅和周期，求出ω，利用特殊点求解φ，即可求解f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用g(x)=f(x)-

3

f(x+

π

4

)，求出表达式，转化g（α）为tanα的形式，然后求解g（α）的值．

解答：解：（Ⅰ）由图象可得A=1，

T

4

=

π

3

-

π

12

=

π

4

，T=π，ω=

2π

T

=2．
又图象经过（

π

12

，0），∴sin（

π

6

+φ）=1，
∵|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

3

，
所以f（x）的解析式f（x）=sin（2x+

π

3

）；
（Ⅱ）设g(x)=f(x)-

3

f(x+

π

4

)=sin（2x+

π

3

）+

3

sin（2x-

π

6

）=2sin2x，
所以g（α）=2sin2α=

4sinαcosα

sin2α+cos2α

=

4tanα

1+tan2α

，
∵tanα=

2

，
所以g（α）=

4 2

1+2

=

4 2

3

．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的值的求法，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．