Question

已知平面向量

a

，

b

，

c

满足|

a

|=

2

，|

b

|=1，

a

•

b

=-1，且

a

-

c

与

b

-

c

的夹角为45°，则|

c

|的最大值等于（　　）

• A、

  10

• B、2
• C、

  2

• D、1

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：由于平面向量

a

，

b

，满足|

a

|=

2

，|

b

|=1，

a

•

b

=-1，利用向量的夹角公式可得＜

a

，

b

＞=135°．由于

a

-

c

与

b

-

c

的夹角为45°，可得点C在△OAB的外接圆的弦AB所对的优弧上，因此可得|

c

|的最大值为△OAB的外接圆的直径．

解答：解：设

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

．
∵平面向量

a

，

b

，满足|

a

|=

2

，|

b

|=1，

a

•

b

=-1，
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a | | b |

=

-1

2 ×1

=-

2

2

，∴＜

a

，

b

＞=135°．
∵

a

-

c

与

b

-

c

的夹角为45°，
∴点C在△OAB的外接圆的弦AB所对的优弧上，如图所示．
因此|

c

|的最大值为△OAB的外接圆的直径．
∵|

a

-

b

|=

a 2+ b 2-2 a • b

=

( 2 )2+12-2×(-1)

=

5

．
由正弦定理可得：△OAB的外接圆的直径2R=

| a - b |

sin135°

=

5

2 2

=

10

．
故选：A．

点评：本题考查了向量的夹角公式、三角形法则、数形结合的思想方法、正弦定理等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力，属于难题．