Question

14．已知{a_n}为等差数列，且a₁+a₃=8，a₂+a₄=12．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{a_n}{2^n}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由已知条件可得$\left\{{\begin{array}{l}{2{a_1}+2d=8}\\{2{a_1}+4d=12}\end{array}}\right.$，解得a₁，d，即可；
（2）由a_n=2n可得，${b_n}=\frac{a_n}{2^n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，利用错位相减法数列{b_n}的前n项和为T_n．

解答 解：（1）由已知条件可得$\left\{{\begin{array}{l}{2{a_1}+2d=8}\\{2{a_1}+4d=12}\end{array}}\right.$，…（3分）
解之得a₁=2，d=2，…（4分）
所以，a_n=2n．                                         …（6分）
（2）由a_n=2n可得，${b_n}=\frac{a_n}{2^n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，设数列{b_n}的前n项和为T_n．
则${T_n}=1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+…+\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，…（7分）
∴$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}$，…（9分）
以上二式相减得$\frac{1}{2}{T_n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{2^n}$
=$2（1-\frac{1}{2^n}）-\frac{n}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^n}$，…（11分）
所以，${T_n}=4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}$．…（12分）

点评 本题考查了等差数列的通项公式，错位相减法求和，属于中档题．