Question

9．如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．
（1）若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？
（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，AP段围墙造价为每平方米150元，AQ段围墙造价为每平方米100元．若围围墙用了30000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？

Answer 1

分析 （1）AP+AQ=200，可得S=$\frac{1}{2}•AP•AQ•sin12{0}^{°}$≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$$（\frac{AP+AQ}{2}）^{2}$．
（2）设AP=x，AQ=y，可得1•x•150+1.5•y•100=30000，化为：x+y=200≥2$\sqrt{xy}$，可得xy≤10000．
可得PQ²=x²+y²-2xycos120°=x²+y²+xy=（x+y）²-xy=40000-xy，即可得出PQ的最小值．

解答 解：（1）∵AP+AQ=200，
∴S=$\frac{1}{2}•AP•AQ•sin12{0}^{°}$≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$$（\frac{AP+AQ}{2}）^{2}$=2500$\sqrt{3}$．
当且仅当x=y=100时取“=”．
∴当x=y=100时，可使得三角形地块APQ的面积最大．
（2）设AP=x，AQ=y，则1•x•150+1.5•y•100=30000，
化为：x+y=200≥2$\sqrt{xy}$，可得xy≤10000．
∴PQ²=x²+y²-2xycos120°=x²+y²+xy=（x+y）²-xy=40000-xy≥30000．
当且仅当x=y=100时取“=”．
即PQ≥100$\sqrt{3}$．
∴当且仅当x=y=100时，可使PQ取得最小值，即使用竹篱笆用料最省．

点评 本题考查了重要不等式与基本不等式的性质及其应用、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．