Question

4．在等差数列{a_n}中，公差d≠0，已知S₅=20，且a₁，a₃，a₇成等比数列．设T_n为数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和，若存在n∈N^*，使得T_n-λa_n+1≥0成立，则实数λ的取值范围（-∞，$\frac{1}{16}$]．

Answer 1

分析 由已知得a_n=n+1，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，则T_n=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2（n+2）}$．
若存在n∈N⁺，使得T_n-λa_n+1≥0成立，即存在n∈N⁺，使$λ≤\frac{n}{2（n+2）^{2}}$成立．又$\frac{n}{2（n+2）^{2}}=\frac{1}{2（n+\frac{4}{n}+4）}$$≤\frac{1}{16}$，即可得实数λ的取值范围．

解答 解：由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=20}\\{（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+6d）}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=4}\\{2{d}^{2}={a}_{1}d}\end{array}\right.$，又因为d≠0，所以$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=1}\end{array}\right.$，所以a_n=n+1，
则$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，故T_n=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2（n+2）}$．
若存在n∈N⁺，使得T_n-λa_n+1≥0成立，则存在n∈N⁺，使得$\frac{n}{2（n+2）}-λ（n+2）≥0$成立，
即存在n∈N⁺，使$λ≤\frac{n}{2（n+2）^{2}}$成立．又$\frac{n}{2（n+2）^{2}}=\frac{1}{2（n+\frac{4}{n}+4）}$$≤\frac{1}{16}$，
（当且仅当n=2时取等号），所以$λ≤\frac{1}{16}$．
即实数λ的取值范围是（-$∞，\frac{1}{16}]$．
故答案为：（-$∞，\frac{1}{16}$]．

点评 本题考查了等差、等比数列的性质，考查了裂项求和、均值不等式，属于中档题．