Question

6．给出下列五种说法：
①函数$y={x^{\frac{1}{2}}}$与函数$y={（\frac{1}{2}）^x}$的值域相同；
②若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；
③函数y=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$与$y=\frac{{{{（1+{2^x}）}^2}}}{{x•{2^x}}}$均为奇函数；
④若f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=2，$\frac{f（2）}{f（1）}$+$\frac{f（4）}{f（3）}$+…+$\frac{f（2014）}{f（2013）}$+$\frac{f（2016）}{f（2015）}$=2016；
⑤已知f（x）=kx，g（x）=（k²-2）x²-2kx，若f（x），g（x）至少有一个在（1，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是$[-\sqrt{3}，-\sqrt{2}）∪（0，+∞）$．
其中错误说法的序号是①②⑤．

Answer 1

分析 ①根据幂函数和指数函数的性质进行求解即可．
②根据复合函数定义域之间的关系进行求解判断．
③根据函数奇偶性的定义先求出函数的定义域，结合函数奇偶性的定义进行证明．
④利用赋值法进行求解即可．
⑤根据函数单调性的分别进行求解，取并集即可．

解答 解：①函数$y={x^{\frac{1}{2}}}$=$\sqrt{x}$≥0，函数$y={（\frac{1}{2}）^x}$＞0，则两个函数的值域不相同；故①错误，
②若函数f（x）的定义域为[0，2]，则0≤x≤2，
由0≤2x≤2，得0≤x≤1，
即函数f（2x）的定义域为[0，1]；故②错误，
③函数y=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$=$\frac{{2}^{x}+1}{2（{2}^{x}-1）}$，
由2^x-1≠0得x≠0，函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
则f（-x）=$\frac{{2}^{-x}+1}{2（{2}^{-x}-1）}$=$\frac{1+{2}^{x}}{2（1-{2}^{x}）}$=-$\frac{{2}^{x}+1}{2（{2}^{x}-1）}$=-f（x），则函数为奇函数，
$y=\frac{{{{（1+{2^x}）}^2}}}{{x•{2^x}}}$=$\frac{1+2•{2}^{x}+{4}^{x}}{x•{2}^{x}}$的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
则f（-x）=$\frac{1+2•{2}^{-x}+{4}^{-x}}{-x•{2}^{-x}}$=$\frac{{4}^{x}+2•{2}^{x}+1}{-x•{2}^{x}}$=-f（x），
则两个函数都是为奇函数；故③正确，
④若f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=2，
令y=1，则f（x+1）=f（x）f（1）=2f（x），
即$\frac{f（x+1）}{f（x）}$=2，
则$\frac{f（2）}{f（1）}$+$\frac{f（4）}{f（3）}$+…+$\frac{f（2014）}{f（2013）}$+$\frac{f（2016）}{f（2015）}$=2×1008=2016；故④正确，
⑤已知f（x）=kx，g（x）=（k²-2）x²-2kx，若f（x）在（1，+∞）上单调递增，
则k＞0，
对于g（x）=（k²-2）x²-2kx，
函数的导数g′（x）=2（k²-2）x-2k，
若函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，
则g′（x）=2（k²-2）x-2k≥0在（1，+∞）上恒成立，
则$\left\{\begin{array}{l}{2（{k}^{2}-2）＞0}\\{g'（1）=2（{k}^{2}-2）-2k=2（{k}^{2}-k-2）≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k＞\sqrt{2}或k＜-\sqrt{2}}\\{k＞2或k＜-1}\end{array}\right.$，即k＞2或k＜-$\sqrt{2}$，
若f（x），g（x）至少有一个在（1，+∞）上单调递增，
则k＞0或k＜-$\sqrt{2}$，
故⑤错误，
故答案为：①②⑤

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，有一定的难度．