Question

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=$\frac{1}{2}$AD=1，CD=$\sqrt{3}$．
（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）设PM=tMC，若二面角M-BQ-C的平面角的大小为30°，试确定t的值．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，Q为AD的中点，可得四边形BCDQ为平行四边形，得到CD∥BQ．结合∠ADC=90°，得QB⊥AD．然后利用面面垂直的性质得BQ⊥平面PAD．再由线面垂直的判定得平面PQB⊥平面PAD；
（2）由PA=PD，Q为AD的中点，得PQ⊥AD．结合（1）可得PQ⊥平面ABCD．以Q为原点建立空间直角坐标系．然后求出平面BQC的一个法向量，再由PM=tMC把平面MBQ的一个法向量用含有t的代数式表示，结合二面角M-BQ-C的平面角的大小为30°求得t的值．

解答 （1）求证：∵AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．
∵BQ?平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD；
（2）解：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则面BQC的法向量为$\overrightarrow{n}=（0，0，1）$；
Q（0，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，$\sqrt{3}，0$）．
设M（x，y，z），则$\overrightarrow{PM}=（x，y，z-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{MC}=（-1-x，\sqrt{3}-y，-z）$，
∵PM=tMC，∴$\overrightarrow{PM}=t\overrightarrow{MC}$，则$\left\{\begin{array}{l}{x=t（-1-x）}\\{y=t（\sqrt{3}-y）}\\{z-\sqrt{3}=t（-z）}\end{array}\right.$，
即$x=-\frac{t}{1+t}，y=\frac{\sqrt{3}t}{1+t}，z=\frac{\sqrt{3}}{1+t}$，
在平面MBQ中，$\overrightarrow{QB}=（0，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{QM}=（-\frac{t}{1+t}，\frac{\sqrt{3}t}{1+t}，\frac{\sqrt{3}}{1+t}）$，
设平面MBQ的一个法向量$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{QB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{QM}=0}\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}y=0}\\{-\frac{t}{1+t}x+\frac{\sqrt{3}t}{1+t}y+\frac{\sqrt{3}}{1+t}z=0}\end{array}\right.$，取z=t，得x=$\sqrt{3}$．
∴平面MBQ法向量为$\overrightarrow{m}=（\sqrt{3}，0，t）$．
∵二面角M-BQ-C为30°，∴$cos30°=\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}=\frac{t}{\sqrt{3+0+{t}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得t=3．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．