Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0，x∈R）为奇函数，且f（x）在x=1处取得极大值2．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）记g(x)=

f(x)

x

+(k+1)lnx，求函数y=g（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）根据函数为奇函数求出b，然后根据函数f（x）在x=1取得极大值2，建立a与c的方程组，解之即可求出函数y=f（x）的解析式；
（2）先求函数的定义域，讨论k与-1的大小，然后利用导数的符号确定函数的单调性即可．

解答：解：（1）由f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），代入得，b=0
∴f′（x）=3ax²+c，且f（x）在x=1取得极大值2．
∴

f′(1)=0 f(1)=2

?

3a+c=0 a+c=2.

解得a=-1，c=3，∴f（x）=-x³+3x
（2）∵g（x）=-x²+3+（k+1）lnx，
∴g′(x)=-2x+(k+1)

1

x

=

-2x2+(k+1)

x

因为函数定义域为（0，+∞），所以
①当k=-1时，g'（x）=-2x＜0，
函数在（0，+∞）上单调递减；
②当k＜-1时，k+1＜0，∵x＞0，
∴g′(x)=

-2x2+(k+1)

x

＜0．
∴函数在（0，+∞）上单调递减；
③k＞-1时，k+1＞0，令g'（x）＞0，得

-2x2+(k+1)

x

＞0，
∵x＞0，
∴-2x²+（k+1）＞0，得-

k+1 2

＜x＜

k+1 2

，
结合x＞0，得0＜x＜

k+1 2

；
令g'（x）＜0，得

-2x2+(k+1)

x

＜0，同上得2x²＞（k+1），x＞

k+1 2

，
∴k＞-1时，单调递增区间为（0，

k+1 2

），
单调递减区间为（

k+1 2

，+∞）
综上，当k≤-1时，函数的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；
当k＞-1时，函数的单调递增区间为（0，

k+1 2

），
单调递减区间为（

k+1 2

，+∞）

点评：本题主要考查了函数解析式的求解，以及利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想，是高考中常考的题型，属于中档题．