Question

如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮O1的半径为2r(r为常数)，小飞轮O2的半径为r，O1O2＝4r.在大飞轮的边缘上有两个点A，B，满足∠BO1A＝，在小飞轮的边缘上有点C.设大飞轮逆时针旋转，传动开始时，点B，C在水平直线O1O2上．

(1)求点A到达最高点时A，C间的距离；

(2)求点B，C在传动过程中高度差的最大值．

 

Answer 1

（1）·r. （2）r.

【解析】【解析】
(1)以O1为坐标系的原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系．当点A到达最高点时，点A绕O1转过，则点C绕O2转过.

此时A(0,2r)，C(r，r)．

∴AC＝＝·r.

(2)由题意，设大飞轮转过的角度为θ，

则小飞轮转过的角度为2θ，其中θ∈[0,2π]．

此时B(2rcos θ，2rsin θ)，C(4r＋rcos 2θ，rsin 2θ)．

记点B，C的高度差为d，则d＝|2rsin θ－rsin 2θ|，

即d＝2r|sin θ－sin θcos θ|.

设f(θ)＝sin θ－sin θcos θ，θ∈[0,2π]，

则f′(θ)＝(1－cos θ)(2cos θ＋1)．

令f′(θ)＝(1－cos θ)(2cos θ＋1)＝0，得cos θ＝－或1，则θ＝，，0或2π.

f(θ)和f′(θ)随θ的变化情况如下表：

θ	0						2π
f′(θ)		＋	0	－	0	＋
f(θ)	0	?	极大值 f	?	极小值 f	?	0

 

∴当θ＝时，f(θ)取得极大值；当θ＝时，f(θ)取得极小值－.

综上所述，点B，C在传动过程中高度差的最大值dmax＝r.